Feeds:
פוסטים
תגובות

Archive for the ‘מתמטיקה’ Category

הפרדוקס הראשון והעיקרי של הלוגיקה נעוץ בסתירה שבין מטרתה לתוצריה. מטרתה של הלוגיקה היא להוסיף על הידע שלנו, לגלות אמת חדשה, ליצור הבנה חדשה.  גיאומטריה למשל, מתחילה ב-5 אקסיומות (קצת יותר בעצם) וכמה הגדרות. מנקודת התחלה צנועה זו, הכללים הלוגים של הגיאומטריה גוזרים שלל אמיתות יפות ומפתיעות. אלא שהאמיתות הללו פגומות מבחינת יכולתן לחשוף אמיתות חדשות.

אפשר היה לצפות שככל שנדע יותר, תגדל גם היכולת שלנו לגלות ידע חדש. נשמע הגיוני לא? כמו שהעשירים ממשיכים להתעשר והחזקים ממשיכים להתחזק אפשר היה לצפות שמסקנות יולידו מסקנות. אבל במובן מאוד חשוב ההיפך הוא הנכון. המשך…

Read Full Post »

המתמטיקה עוסקת בהעלאת השערות (אודות מספרים, צורות גיאומטריות וכו'), הוכחתן או הפרכתן. הפעילות המתמטית הזו נעשית במסגרת של שפה והגדרות שנתפשות לא מעט פעמים כמובנות מאליהן. אלא שאין זה כך. בניית השפה המתמטית ובחירת ההגדרות שישמשו אותה אינן דבר של מה בכך. התודעה (של המתמטיקאי), בפוגשה את העולם צריכה למצוא את המונחים המתאימים לניסוח מה שהיא רואה. אני רוצה לתאר שתי דוגמאות פשוטות ויפות לאופן שבו מתמטיקאים הצליחו לגדר חלקים מהמציאות עד שגילו שהמציאות בכל זאת מצליחה לחמוק דרכן.

אנחנו חיים במרחב תלת מימדי והפיזיקה המודרנית הנחילה לנו את המושג של מרחב-זמן ארבעה מימדי. אבל איך מגדירים מימד? איך מנסחים מתמטית את העובדה שריבוע הוא דו-מימדי וקוביה היא תלת מימדית, מה מבדיל בינהם?

כך נפתחת הקלאסיקה המתמטית של כל הזמנים – ה"אלמנטים" של אוקלידס:

הגדרה 1: נקודה היא זה שאין לו חלק
הגדרה 2: ישר הוא אורך ללא רוחב
הגדרה 5: משטח הינו זה שיש לו אורך ורוחב בלבד

אוקלידס (והמתמטיקאים האחרים שעל כתפיהם נשענת עבודתו) השכיל להבין שיש צורך להתחיל מהגדרות מדוייקות ובה בעת בלתי אפשרי להגדיר הכל. אצל אוקלידס נקודה, ישר ומשטח מוגדרים בעזרת רוחב ואורך – מושגים שלהם לא ניתנת כל הגדרה. הגישה הזו של אוקלידס היא פריצת דרך שמהווה אב טיפוס למתמטיקה מאז. גם בתחומי ידע אחרים – למשל שפינוזה ב"אתיקה" שלו – ניסו לחקות את הגישה שלו. אבל עבור המתמטיקה המודרנית, ההגדרות של אוקלידס אינן מספקות: אורך ורוחב אינם באמת מושגים מתמטיים ולא יאה לבסס עליהם את המבנה המפואר של הגיאומטריה. מבחינה מעשית, ההשענות על אורך, רוחב (וגובה) לא מתאימה להכללת מושג המימד לאובייקטים גיאומטריים בעלי 4, 5, או 100 מימדים. לא היתה כל סיבה שאוקלידס יעלה על דעתו אובייקטים כאלו אבל 2300 שנה אחריו הם היו לחם חוקה של המתמטיקה. נסו רגע לחשוב על דרך אחרת להגדיר מימד.
רק בסוף המאה ה-19 נוסחו מספר הגדרות אחרות למימד גיאומטרי. מבין ההגדרות הללו ההגדרה האלגנטית ביותר בעיניי היא זו של פליקס האוסדורף:
נאמר שיש לנו מספר מקלות ישרים, כולם באותו אורך. בעזרת סרגל נמדוד את האורך – נניח שהוא 1 ס"מ.
ניקח 4 מהמקלות ונבנה בעזרתם ריבוע. שטח הריבוע יהיה 1 סמ"ר.
ניקח 12 נוספים ונבנה מהם קוביה. הנפח שלה יהיה 1 סמ"ק.
נניח שהסרגל שלנו התכווץ ומה שהוא מראה כעת כ 1 ס"מ מתאים ל 1/2 ס"מ בסרגל הקודם.
לפי הסרגל החדש האורך של המקלות יהיה 2 ס"מ, השטח של הריבועים יהיה 4 סמ"ר והנפח של הקוביות יהיה 8 ס"מ.
2 = 2 בחזקת 1 והרי 1 זה המימד של הישר.
4 = 2 בחזקת 2 והרי 2 זה המימד של הריבוע.
8 = 2 בחזקת 3 והרי 3 זה המימד של הריבוע.

לכן הגדיר האוסדורף מימד באופן הבא (פחות או יותר):
המימד של אובייקט גיאומטרי הוא n אם כאשר מכווצים את הסרגל פי 2, האובייקט גדל פי 2 בחזקת n.

אני מקווה שקוראים לא מתמטיים יכולים לראות את היופי של זה: הגדרה פשוטה ומדוייקת שמצליחה לתפוס בעזרת פעולה מתמטית קונקרטית (העלאה בחזקה) את המושג החמקמק של מימד. יתר על כן, למרות שההגדרה הזו צצה לה פתאום אחרי אלפי שנות מתמטיקה היא עושה שימוש בחוקיות שגם ילדים בבית ספר יסודי מכירים.
עד כאן החלק הראשון במהלך שתיארתי בפתיחת הרשימה הזו: המתמטיקאי הצליח להגדיר בעזרת מספרים חלק של המציאות (מימד). כעת לחלק השני – המציאות נושכת בחזרה!

כמה עשרות שנים אחרי ההגדרה של האוסדורף (האוסדורף שהיה יהודי גרמני התאבד יחד עם אישתו וגיסתו ב 1942 כשעמדו להיות מגורשים למחנה ריכוז) התעניין מתמטיקאי בשם בנואה מנדלברוט בצורות שלימים יכנה אותן פרקטלים. התכונה האופיינית של פרקטל הינה "דימיון עצמי בכל קנה מידה" ומנדלברוט התעניין מאוד בתופעה הזו: אם חותכים חלק כלשהו של הפרקטל ומגדילים אותו מקבלים בחזרה את הפרקטל המקורי. הדגמה של העניין כאן. שימו לב למוטיב החוזר

אחד הפרקטלים הראשונים – פתית השלג של קוך.

מהגדרת המימד של האוסדורף; הגדלת הפרקטל (מעין זום-אין) היא המקבילה לכיווץ הסרגל.

מנדלברוט זיהה שפרקטלים אינם רק צורות מתמטיות יפות אלא שהם מופיעים באין ספור צורות בטבע: תצורות הרים, ענפי עצים, אלמוגים, עננים, פתיתי שלג, כלי דם וקווי חוף – לכולם צורה פרקטלית. ישנם גם תהליכים "פרקטלים" – הגרף של תנודות הבורסה הוא פרקטלי למדי.
והנה, כשבאים לחשב את המימד של פרקטל (כלומר כשמחשבים כיצד משתנה הגודל שלו בעקבות זום-אין/כיווץ סרגל) מקבלים מימד שאינו מספר שלם! יש פרקטלים שהמימד שלהם הוא בין 0 ל-1, יש פרקטלים ( כמו הפרקטל שבתמונה) שהמימד שלהם הוא בין 1 ל -2 וכך הלאה. מאחר ו"דימיון עצמי" אינו מושג מתמטי, פרקטלים מוגדרים דרך המימד שלהם: פרקטל הוא צורה גיאומטרית שמימד האוסדורף שלה אינו מספר שלם. דרך אגב, משמעות המילה פרקטל היא שבר.

מימד שברי? זה חייב להיות מופרך! זה אולי מופרך מבחינת "האינטואיציה" – קרי מבחינת הניסיון היומיומי – אבל מבחינה מתמטית אין בזה שום דבר מופרך וכפי שמתואר למעלה, ההסבר אפילו די פשוט. בכל זאת צריך לוותר כאן על משהו: או שההגדרה המתמטית היפה צריכה להיזרק לפח כי היא מביאה לתוצאה מוזרה של מימד שברי, או שאנחנו צריכים להודות שלא באמת הבנו מה זה מימד. עבורנו מימד אכן קשור באורך, רוחב, גובה, אבל בהקשר הפרקטלי המושגים הללו לא רלבנטיים.
אני לא בקיא בסיפור של הפרקטלים בכדי לדעת כיצד התקבלה עבודתו של מנדלברוט אבל אני מניח שבאמצע המאה ה-20 – מאה בה נופצו אמיתות מתמטיות בסיסיות – לא היה למתמטיקאים קושי רב לוותר על מושג המימד המקובל (מעתה הם יקראו לו "נאיבי") ולקבל מימדים שבריים. דרך אגב, לא חסרות דוגמאות אחרות בהן הקהילה המתמטית דווקא לא אהבה את האופן בו המציאות משטה בהגדרות שמנסים לכפות עליה. כתבתי על כך כאן. ולמרות שלמתמטיקאים כנראה לא היתה בעיה לבלוע את הצפרדע של מימד שברי, בעיני ראוי להדגיש שהתקבלותו של היצור הזה היתה הודאה בכך שמושג בסיסי כמו מימד לא באמת הובן, שהמציאות היא יותר מורכבת מהמושגים שלנו אודותיה.

הדוגמא השניה שברצוני להתייחס אליה היא זו של רציפות. פונקציות הן דרך מתמטית לתאר כל מיני תופעות פיסיקליות בהן תופעה אחת (למשל הנפח של 1גרם מים) תלויה בתופעה אחרת (למשל הטמפרטורה של המים). את הגרף של הפונקציה אנו מציירים במערכת צירים ומקובל שהמשתנה של הציר האנכי הוא המשתנה התלוי (בדוגמא שלנו נפח המים) והמשתנה בציר האופקי הוא המשתנה הבלתי תלוי (הטמפרטורה). במערכת צירים כזו אנו מציירים את הגרף של הפונקציה. אחת השאלות הראשונות לגבי פונקציה היא האם היא רציפה. רציפות היא דבר שקל להגדיר באופן אינטואיטיבי: הפונקציה היא רציפה אם אפשר לצייר אותה בלי להרים את העט מהנייר. איך נגדיר זאת באופן מתמטי? הרציפות או היעדר הקפיצה בציור מתבטאים בעובדה ששינוי אופקי קטן מספיק (קרי שינוי במשתנה הלא תלוי) יוצר שינוי אנכי קטן (במשתנה התלוי). היופי של ההגדרה המתמטית נעוץ באופן בו מצליחים לבטא מתמטית את המילים "קטן" ו"מספיק". ההגדרה לא מאוד קשה אבל משהו בלוגיקה שלה הופך אותה למאתגרת לסטודנטים שפוגשים אותה בשנת לימודיהם הראשונה.
כעת מגיע השלב השני, זה שבו לאחר שהצלחנו לנסח בכלים הגיוניים משהו לגבי המציאות, מתחילות להתגלות תופעות "לא הגיוניות": ישנן פונקציות אשר יקיימו את ההגדרה של רציפות (כלומר יהיו רציפות מבחינה מתמטית) למרות שאי אפשר לצייר אותן "ברציפות": כדי לצייר אותן צריך לנתק את העט מהדף אינספור פעמים. ההסבר הוא קצת טכני אבל חביב. למספרים שהם מנה של שני שלמים (1/2, 5/7, …) קוראים מספרים ראציונליים (מהמילה ratio- יחס). אולם יש גם מספרים לא ראציונליים – למשל את השורש של 2 או את pi אי אפשר לכתוב כמספר שלם מחולק במספר שלם אחר. לענייננו חשוב שבין כל שני מספרים לא ראציונליים יש (המון) מספרים ראציונליים ובין כל שני מספרים ראציונליים יש (עוד יותר המון) מספרים לא ראציונליים. נגדיר פוקנציה שבה אם המשתנה האופקי  הוא ראציונלי אז המשתנה האנכי מתאפס. אם המשתנה האופקי אינו ראציונלי אז המשתנה האנכי יהיה שווה לו. כש"מציירים" את הפונקציה הזו קופצים בתזזיתיות בין גובה 0 לגובה של מספר לא ראציונלי כלשהו. זו התנהגות לא רציפה בעליל. אבל ככל שמתקרבים ל 0 גובה הקפיצות קטן (כי המספרים נהיים יותר ויותר קטנים). כך, למרות שאיננו חדלים מלקפוץ ההגדרה שדורשת שינוי אנכי קטן בעקבות שינוי אופקי קטן מתקיימת והפונקציה שלנו תהיה רציפה בנקודה 0.

שתי הדוגמאות הנ"ל הן פשוטות מבחינה מתמטית והמתמטיקה זרועה בתופעות רבות אחרות שנוגדות את האינטואיציה. זה חלק מהיופי שלה. בעיני גם יפה דו-הקרב הזה: המתמטיקאי מפגין את היכולת שלו לברוא מושגים, להבין את המציאות ודרך כך לשלוט בה. המציאות גומלת לו בכך שדווקא ה"ניצחון" של התודעה המגדירה משמש ליצירת תופעות שלפני כן היו נחשבות בלתי מתקבלות על הדעת. דווקא ההצלחה שלנו להבין, חושפת את המוגבלות של ההבנה שלנו. התשובה, במקום לאפשר לנו לנוח על שמרינו מביאה איתה שאלות נוספות. בעיניי זה נפלא.

Read Full Post »

איך מתמטיקאי מכין תה מקוביית קרח? הוא שם אותה בפינג'אן ומעמיד את הפינג'אן על האש. הקרח נמס למים, המים רותחים. הוא שופך את המים לכוס עם תיון, מוסיף סוכר ויש לו תה.
איך מתמטיקאי מכין תה מכוס מים? הוא מקפיא את המים שהופכים לקרח ומקרח הוא כבר יודע איך להכין תה.

לא, זה לא קואן. בזמנים קשים של התחבטות עם נוסחאות מתמטיות אפילו בדיחה עצובה כזו יכולה לשובב את נפשו של המתמטיקאי המתלמד.
לימודי מתמטיקה מורכבים משני חלקים. לימוד הידע המתמטי ולימוד החשיבה המתמטית. גם אם הידע מופשט ומסובך זה לא כל כך קשה ללמד וללמוד אותו. אבל כיצד מלמדים לחשוב? אני בודאי לא הראשון ששואל את השאלה הזו. מן הסתם אנשים רבים נתנו את דעתם על הסוגיה ויש כמה מומחים לעניין. אני לא מומחה…

אפשר ללמד (וללמוד) את הטריקים המחשבתיים שמסייעים למתמטיקאי במעשי הקסמים שלו. שמות יפים יש לטריקים הללו – הוכחה בשלילה, אינדוקציה, עיקרון שובך היונים, אינטגרציה בחלקים, החלפת משתנה וכו' הם טריקים שגדולי המוחות המתמטיים הנחילו לנו. הכלים הללו הינם פרי של חשיבה יצירתית, אינטואיציה והברקות אבל ללמד אותם, זה ללמד ידע ולא חשיבה: הפעם הידע אינו מגיע בדמות נוסחא או הגדרה מתמטיות אלא בדמות טכניקה מתמטית. מישהו היה צריך לחשוב – בצורה יצירתית ומבריקה – על מנת לעלות על הטכניקה הזו, אבל בשביל להבין אותה לאחר מעשה מספיקות יכולות צנועות בהרבה. תעיד על כך העובדה שהטכניקות שמניתי למעלה ושפותחו על ידי גדולי המוחות המתמטיים, נלמדות ומובנות היום על ידי תלמידי תיכון.

זה אולי לא מובן מאליו ולכן כדאי שיאמר בפירוש: לדעת לעשות שימוש נכון בכלים מתמטיים עשוי להיראות מרשים אבל הרבה מאוד פעמים זו פעולה מאוד מכנית: ה"מתמטיקאי" יודע לזהות תבניות מתמטיות ולהתאים להן את המפתחות הנכונים אבל זה לא שונה מתינוק שיודע להכניס צורות – קוביות, פירמידות וכדורים – לחריצים המתאימים בצעצוע (שאני לא זוכר איך קוראים לו). דרך אגב, התופעה הזו לא ייחודית למתמטיקה ונכונה – לעניות דעתי – לכל תחום ידע. המכאניות של העשייה המתמטית – וחוסר ההבנה של העושה אותה – נחשפים כשמשנים את התבניות בצורה נכונה: שינוי קטן דיו בשביל שיהיה נדמה שעדיין מדובר באותה תבנית אבל גדול מספיק בשביל שדרך הפתרון שבדרך כלל משוייכת לתבנית הזו לא תהיה רלבנטית. דוגמא מביכה במיוחד היא כאשר תלמידים משתמשים בנוסחה למציאת השורשים של משוואה ריבועית על מנת לפתור משוואה מהסוג (^ מסמן חזקה) x^2-x=0.

כשמרצה עומד מול סטודנטים מאוד קל לו להעביר ידע ומאוד קשה לו ללמד לחשוב. כל הקונסטלציה מבוססת על הנחת יסוד לפיה המרצה הוא מקור החכמה והסטודנטים אמורים להקשיב לחכמתו. זה כמובן מכוון לסוג מאוד מסויים של תקשורת. לפעמים בדרך נס מתפתחת אפילו בסיטואציה הזו גם יכולת חשיבה. זה קורה באופן מאוד ספונטני, לא מכוון, ולמרות הגישה הכללית של הטמעת ידע – עדות לרצון הטבעי של התודעה האנושית למצוא משמעות, לחשוב ולהיות יצירתית.
אין לי את היומרה שאני יודע ללמד לחשוב. כפי שציינתי למעלה, יש בודאי אנשים עם תובנות חשובות בתחום הנ"ל. לכן לא אנסה להציג כאן משנה סדורה בנושא. מה שכן, ברצוני להתייחס לתחום שבדרך כלל נחשב לטכני ביותר ולחסר שאר רוח – נוסחאות מתמטיות.

נוסחא מתמטית היא כלי אדיר. כמו ג'ק שמאפשר לאדם החלש ביותר להרים את האוטו הכבד ביותר, נוסחאות מאפשרות לאנשים עם מעט מאוד הבנה מתמטית לבצע חישובים שלפעמים עומדים מאחוריהם מחקר רב וחשיבה מאומצת. יש כאן פרדוקס. הנוסחאות הן אחד הפירות היפים של יכולת החשיבה האנושית. בה בעת השימוש שרובנו עושים בנוסחאות נועד לעקוף את הצורך בחשיבה והבנה אמיתית. אחרי עמל רב, מצליח מדען לפצח את הקואן עימו התמודד. אחוז אקסטזה הוא קופץ מהאמבטיה, רץ ברחובות וצועק אואריקה. האנושות מאוד שמחה לגלות שיש דרך להבדיל בין זהב אמיתי לזיוף (ארכימדס היה צריך לקבוע האם כתר מסויים עשוי מזהב אמיתי. כשנכנס לאמבט ושם לב שגובה פני המים עולה עם כניסתו הוא הבין שמצא דרך למדוד את נפח הכתר בלי להתיך אותו. כעת יוכל לבדוק האם משקל הכתר מתאים למשקל של גוש זהב מאותו נפח ולהכריע האם מדובר בזהב טהור או זיוף). הטכניקה של ארכימדס נשמרת (לנצח?) אבל מעטים בלבד מתעניינים ביכולת המחשבתית שהולידה אותה. מעטים עוד יותר מתעניינים באקסטזה: הבורגני שחשוב לו שלא ירמו אותו בחנות התכשיטים הוא אותו בורגני שסולד מאקסטזה. הוא מוריד אותה לדרגת "ארכימדס רץ עירום ברחוב".

כך שבעוד שנוסחא היא פרי של חשיבה יצירתית הרי שהיא טומנת בתוכה את הזרע של עשייה מכאנית חסרת הבנה. התנועה היצירתית מתמצקת לכדי נוסחא – הנוסחא היא ביטוי של היצירתיות וההתמצקות היא מותה. נוסחאות נמצאות על קן התפר בין ארץ חסרת חוקים – שם צריך לחשוב – וארץ החוק וסדר – שפניה פצועות במסלולים מכאניים, מוכתבים מראש. קו התפר הוא תמיד מקום שצריך לתת עליו את הדעת. ככל שקו התפר יתרחב לכדי איזור דמדומים בו ידיעה ואי-ידיעה משמשות בערבוביה, כן ייטב. בעולם טוב יותר לא יהיה דבר זולת איזור דמדומים זה.

כתבתי למעלה שלתודעה האנושית יש "רצון טבעי למצוא משמעות, לחשוב ולהיות יצירתית". למרבית הצער יש בנו גם חלק עצל שנמשך אל המכאני ונרתע מהצורך לחשוב. כיצד אפשר ללמד נוסחאות באופן בו מעודדים את הראשון ולא משרתים את השני?

להגנתה של הנו
סחא למציאת שורשים של משוואה ריבועית אפשר לומר שבלעדיה מרבית הסטודנטים לא יצליחו לפתור משוואות ריבועיות. לעומת זאת, ישנן נוסחאות שאינן מאפשרות שום דבר חדש ושהצדקתן היחידה היא בכך שהן חוסכות עבודה חישובית. נוסחאות כאלו פשוט אסור ללמד. נוסחאות ממין זה אינן "חוסכות" חישובים אלא מונעות מהתלמיד לבצע חישובים – שחורים, מייגעים, חסרי מעוף – שבלעדיהם לעולם לא ישיג את הביטחון העצמי ואת האינטימיות עם מושא הלימוד שלו. בדרך כלל, אחת התוצאות של האינטימיות הזו היא שהתלמיד מגלה בעצמו את הנוסחה. בטריגונומטריה יש לא מעט דוגמאות לנוסחאות כאלו. למשל, cos2a=1-(sin^2)a. או כל מיני נוסחאות "כפל מקוצר" דוגמת a^2-b^2  = (a-b)(a+b) עניין דומה הוא השימוש במחשבונים שלמיטב ידיעתי נפוץ כיום בכל בתי הספר. מחשבונים לא רק שמונעים את גילוי הסודות שבמספרים, הם גם מחנכים את את התלמיד להיות עצלן וללא יכולת להתעמת עם חידות מתמטיות. מורה בחטיבת ביניים שמסכים שתלמידיו ישתמשו במחשבון פשוט מועל בתפקידו.

הזכרתי למעלה את איזור הדמדומים שבין לא לדעת דבר ובין פעולה מכאנית לפי אלגוריתם מוכתב מראש. ישנן נוסחאות שכל תפקידן להצמית את איזור הדמדומים הזה. למשל, הוכחות באינדוקציה בהן מוכיחים שסכום כלשהו שווה לביטוי מסויים: 1+2+3…+n=n(n+1)/2. כדי לבצע את שלב המעבר מ n ל n+1 יש להבין כיצד הביטוי באגף שמאל משתנה כתלות ב n: נקודות נפוצות הן – האם האיבר הראשון קבוע או משתנה, כמה איברים מתווספים בסוף הסכום? למרות שלא מדובר באתגר קשה מידי הרי שספרי הלימוד הנמצאים כיום בשימוש מחלקים את התרגילים שיש בהם לנושאים עם כותרות דוגמת: אינדוקציה עם איבר ראשון משתנה, אינדוקציה עם שני איברים שנוספים לסכום… הוכחות באינדוקציה הן באמת לא קשות. אפשר היה לתת לתלמיד לעשות את ההוכחה בלי הכותרות הללו שממיתות את השאלה. רוב התלמידים לא היו מצליחים חלק מההוכחות. אבל אז, עם קצת עידוד וכמעט שום רמזים הם היו מסוגלים לתהות מדוע בחלק מהמקרים הם הצליחו ובחלק לא. הם היו חוקרים את ההבדל בין מקרה מוצלח למקרה שלא עלה יפה ודי מהר הם גם היו מגלים את הסיבה להבדל. היתה צומחת מכך לא רק הבנה אמיתית, כי אם גם שמחה וביטחון עצמי. בנוסף, התלמיד היה לומד שהוא מסוגל לחשוב! שהוא מסוגל לשהות באיזור הדמדומים, ללכת בו לאיבוד ולמצוא מחדש את דרכו.

מורה צריך לפתח רגישות ולזהות מתי תלמידיו נכנסים לאיזור הדמדומים הזה בו היכולת שלהם מאותגרת באתגר שהם מסוגלים לעמוד בו. כל פעם שמגיעים בחומר הלימוד למצב כזה היא בעצם פרשת דרכים. מעשיו של המורה יכריעו האם החוויה של התלמיד תהיה של הימלטות לאלגוריתם – ויצירת אמונה של חוסר יכולת – או העזה, הסתקרנות, חקירה ויצירת האמונה ביכולת העצמית שלו.

מההיבט הזה גם כדאי למורה להציג פתרונות שגויים או נסיונות שלא מסתיימים בהצלחה. כתיבת הוכחה שגויה שוברת את המכאניות של רישום דברי המורה בלי להרהר אחריהם ומעוררת אצל התלמיד רצון להבין למה המהלך שנדמה היה שיוביל להצלחה נכשל. היא גם מלמדת שיש יותר מדרך אחת לנסות להגיע לפתרון ושאם דרך אחת נכשלה זו לא סיבה להפסיק. חלק גדול מההסכמה לחשוב או להתאמץ אינו קשור ביכולת האמיתית שלנו אלא באמונה שיש לנו לגבי היכולת שלנו. האם מורה יכול להעניק לתלמידיו משהו יותר יקר ערך מאמונה בעצמם? ומה הוא מעולל כשהוא מנחיל להם נוסחאות ואלגוריתמים שמלמדים אותם שאין להם יכולת לחשוב לבד?

נוסחאות יש להציג לא ככלי – גם קביים הם כלי – אלא כעדות ליכולת של המחשבה האנושית להתמודד עם אתגרים ולהיות יצירתית. התלמיד יבין שהיכולת הזו היא גם נחלתו. לשם כך יש להתחיל מנקודה של קושי, בעיה שמנסים לפתור ובשום אופן לא מצליחים. לאחר מכן אסור שהמורה יתקדם מהר מידי אל עבר הפיתרון והנוסחה הגואלת. עדיף שיהסס, יחשוב ויפנה לערוצים לא נכונים. זה אולי בניגוד לטבע האנושי שרוצה לספק תשובות, אבל זה יאפשר לתלמידים להציע הצעות משלהם. בסופו של דבר, משתוצג הנוסחה שמאפשרת את פתרון הבעיה יתלווה לכך מסר שגם אם לא יאמר בקול רם יהיה מאוד ברור: נוסחאות אינן מתנה משמים שכל מיני כוחות עליונים מרעיפים עלינו בטובם ושבלעדיהם אנחנו אבודים. נוסחאות ופתרונות הן תוצאה של עבודה, של סקרנות, של בלבול ושל אי ידיעה. חוויית המסע היא מהנה מאין כמותה.

זהו, הרשימה נגמרת ועם קצת עירנות אפשר לשים לב שלא הצעתי ולו הצעה אחת איך ללמד חשיבה. ובכן, כל עוד לימוד משמעו מתן הוראות לגבי מה נכון לעשות מתי, כנראה שלימוד חשיבה הוא אוקסימורון. מה שנותר למחנכים לעשות הוא להימנע מללמד לא לחשוב, ליצור סיטואציות מאתגרות ולתת הרבה תמיכה ואמונה. השאר נתון לחסדי נפשו של התלמיד. יש משהו מתוק בלהיווכח שאת הדבר היקר הזה – חשיבה – כמו שאר הדברים היקרים אי אפשר באמת ללמד.

 

תוספת: כמה מהמגיבים הפנו לעוד חומרים בנושא של הרשימה הזו. אשמח להפניות נוספות.

Read Full Post »

משברים במתמטיקה

בחילופי הדברים בין גיל גרינגוז  לעמית גל בתגובות לרשימה הזו (של ערן דיין) הם נדרשו גם למתמטיקה, פרדוקסים, לוגיקה ולשאלה האם במתמטיקה (כמו בכל מדע "אמיתי") מעלים השערות שאפשר להפריך. מכיוון שהסוגיות הללו (היו) קצת הבייבי שלי אני שמח שניתן לי בכך התירוץ לתרום את תובנותיי בנושא. אני כותב "תירוץ" כי רשימה עם איזכורים מתמטיים הופיעה כאן לא מזמן ואני לא רוצה לעורר את הרושם שהבלוג הזה משנה כיוון מ"תבונת הגוף" לפילוסופיה (בגרוש) של המתמטיקה.
תחילה ממש על רגל אחת ובאופן לא ממצה (שווה לקרוא את מה שגיל ועמית כתבו בנושא), אילו תכונות היינו מצפים ממדע וממדען?
המדע טוען טענות על העולם ומוכיח אותן (כמיטב יכולתו – הוכחה אמיתית לא אפשרית בעצם בשום תחום זולת מתמטיקה – וזאת לידיעת יהודה בלו, שרשימה שלו גם קשורה לשרשרת הרשימות-שבתגובה-לרשימות שהתפתחה פה). עניינו של המדען אמור להיות חקר ה"אמת", לפחות בכל הנוגע לתחום המחקר שלו. האמת הזו אמורה להיות בלתי תלויה באמונות, העדפות ואידאולוגיות. אי התלות הזו היא בעצם פיקציה, כפי שכל מי שיש לו נגיעה למדעים יודע (נכון, יהודה בלו?). יחד עם זאת רובנו נחשוב שזה מובן מאליו שהאמת תהיה עליונה על פני האידאולוגיה של המדען. אם ההסבר המדעי לתופעה מסויימת לא עולה בקנה אחד עם תפישת העולם (המדעית, החברתית, הדתית …) שלו על המדען למצוא איך ליישב בין השניים (גיל למשל, הותקף על ידי קוראות שזעמו על כך שלדעתו יש הסבר מדעי – אבולוציוני – לאונס. מבחינתן, מי שמסביר שאונס הוא תופעה "טבעית" – קרי, תוצר של הטבע – אומר "זה בסדר מבחינתי שנשים יאנסו". מדענים, בניגוד לנשים הללו, אמורים להיות מסוגלים להיות צנועים מספיק על מנת להכיר בכך שהעולם פועל אחרת מכפי שהיו רוצים, ויצירתיים ונחושים מספיק על מנת ליישב את הפער הזה).

וכעת למתמטיקה. במבט ראשון, מתוך הפסקה הקודמת, מתמטיקה היא מדע פר-אקסלנס – וכי מה למתמטיקה ואידאולוגיה? האם התשובה לשאלה 1+1=2 תלויה בזהות של המשיב? אז להלן שלושה אירועים (מפורסמים) מההיסטוריה של אידאולוגיות ושברן במתמטיקה.
נתחיל – כפי שחלקכם מנחש אני מקוה – מהפיתגוראים. שפר עליו מזלו של פיתגורס לחיות ביוון של לפני 2600 שנה. תרבות בה לא היתה הפרדה בין דת, אמנות, מדע וכל פעילות אחרת של הרוח האנושית. האחדות הזו מצאה את ביטויה במיסטיקה של פיתגורס לפיה "הכל מספרים". וב"הכל" הכוונה היא להכל. כל דבר בעולם קשור במספר כלשהו אותו הוא מייצג. למשל, הפיתגוראים הם אלו שגילו את היחס בין אורכו של מיתר לצליל שהוא מפיק. צלילים הינם איפה מספרים. התיאוריה הפיתגוראית היא הרבה יותר איזוטרית מהעובדה היפהפיה הזו ואני בעצם לא יודע עליה כלום. מה שחשוב לעניינו הוא שמבחינתם של הפיתגוראים, מספרים הינם מספרים שלמים או מנות שלהם (מספר שלם המחולק במספר שלם אחר – אקרא למנה כזו "שבר". נא לא להתבלבל ולחשוב ששבר חייב להיות מספר בין 0 ל 1). מכיוון שהשברים נוצרים מתוך השלמים, הרי שעבור פיתגורס ותלמידיו היוו המספרים השלמים את היסוד עליו מבוסס העולם. פיתגורס (או קבוצתו) עשה לא מעט מתמטיקה ועל שמו קרוי משפט מפורסם בגיאומטריה (משפט פיתגורס כמובן: במשולש ישר זוית ריבוע היתר שווה לסכום הריבועים של הניצבים). נחשוב על משולש ישר זוית ששני ניצביו הם באורך יחידה. לפי משפט פיתגורס ריבוע היתר יהיה שווה ל 2 (שתי יחידות). אורך היתר הוא אם כן, מספר שכשמכפילים אותו בעצמו מקבלים 2. מה יכול להיות המספר הזה? חישוב מהיר מראה שהוא קטן מ 1.5 וגדול מ 1.4. כנראה שהפיתגוראים התאמצו לא מעט כדי לגלות מהו המספר הזה בדיוק, כי לבסוף הצליח אחד מהם להוכיח שהמספר הזה אינו יכול להיות שבר (קרי אינו מנה של שני מספרים שלמים). ההוכחה שלו פשוטה ויפהפיה. למרות שאני כותב שהיא פשוטה, זה היה בכלל לא פשוט למצוא אותה. עיצרו וחישבו – איך תוכיחו שאף אחד מהשברים אינו השורש של 2? תבדקו את כולם? מי שמעוניין לראות את ההוכחה מוזמן לכאן.

בניגוד לשבחים שחלקתי לפיתגוראי הזה, החברים שלו לא כל כך התלהבו. במחי הוכחה של מספר שורות הוא שמט את הקרקע מתחת לתיאוריית העל שלהם על מבנה היקום. הוא מצא אובייקט בעולם (יתר של משולש) שאינו שבר!!! האגדה (אני מקוה שזו רק אגדה) מספרת שהבחור המוכשר עלה על ההוכחה בעת שהוא ופיתגוראים אחרים הפליגו בספינה. הוא מיהר לספר להם את התגלית, והם השליכו אותו למצולות.

תגובה מדעית הולמת האם לא כן? מעבר לאנקדוטה שבסיפור שווה להתעכב ולנתח מה קרה כאן. לפיתגוראים היתה אמונה במשהו. האמונה הזו היתה כלכך חזקה עד שייתכן שעבורם זו כלל לא היתה אמונה אלא חוק טבע, משהו מובן מאליו. לפתע נוצר פרדוקס. מצד אחד יש את האקסיומה שהכל מספרים שלמים או מנות שלהם ומצד שני מופיע גודל שאינו כזה. אנחנו היום, מוותרים בקלות על האקסיומה הזו (שהכל נולד ממספרים שלמים). כלל איננו קוראים להופעתם של מספרים אירציונליים (כך קוראים למספרים שאינם מנות –ratios- של שלמים) פרדוקס. "כל ילד" יודע ששורש 2 הוא מספר אירציונלי (אבל הוא לא יודע את ההוכחה). עבור הפיתגוראים לעומת זאת, זה היה פרדוקס בלתי ניתן ליישוב – ועל זה בעצם חרב עולמם. עבורנו זו אנקדוטה – ראו עד כמה השתנה המובן מאליו ושיקלו שוב, האם מתמטיקה משוחררת מאידאולוגיות. המקרה הבא קרוב אלינו הרבה יותר מבחינה היסטורית, ומראה עד כמה חזקות יכולות להיות אמונות בתוך הקהילה המתמטית.

איני יודע לתארך את "ראשית המתמטיקה" אך לאורך כל ההיסטוריה שלה, מתמטיקה עסקה בגדלים סופיים. היה אפשר לעשות פעולות על מספרים – גדולים ככל שיהיו – ולהוכיח דברים אודות מספרים, והאינסוף נותר לא רלבנטי ומחוץ לתחום. עד שבחצי השני של המאה ה-19, מתמטיקאי גרמני בשם גיאורג קאנטור הבין שיש אינסוף ויש אינסוף. בלי להיכנס לעובי הקורה של התגלית שלו, אומר שקאנטור מצא דרך להשוות בין גדלים של קבוצות אינסופיות. בעצם הוא מצא הרבה יותר מכך והפך את האינסוף לחלק רלבנטי וחשוב מהעשייה המתמטית. למרות שלגילוי המדהים והיפהפה של קאנטור היו השלכות חשובות ושימושיות לבעיות מרכזיות במתמטיקה של ימיו לא כל הקהילה המתמטית התלהבה. לצד מתמטיקאים שמיהרו לאמץ את השיטות שלו, היו גם מתמטיקאים לא מעטים – בינהם מתמטיקאים גדולים – ששללו אותן בתכלית. לא שהיה להם נימוק מתמטי: הם לא מצאו שום שגיאה בהוכחות שלו. אבל המחשבה שאינסוף אחד "גדול" יותר מאינסוף אחר נראתה להם מופרכת. קאנטור איבד את משרתו באוניברסיטה יוקרתית וסבל מסדרה של התמוטטויות עצבים (כמובן שלא רק בגלל החרם עליו). היום, התורה שפיתח נלמדת על ידי כל תלמיד לתואר ראשון במתמטיקה. מה שלפני מאה שנה נחשב לשערורייתי הוא טריביאלי היום. עמיתיו של קאנטור, הכירו את הסיפור על הפיתגוראים ובכל זאת לא השכילו להבין שעליהם להיפטר מהנחה מיותרת ומגבילה שכפו על עצמם.

נשאלת השאלה, מה ההבדל בין סיפורים דוגמת השניים שהבאתי לבין פרדוקסים דוגמת "המשפט הזה הוא שקר"? מדוע המסקנה מהתגלית של קאנטור או של המספרים האירציונליים היתה לוותר על הנחה שרבים האימנו בה אמונה עזה? מדוע במקום זאת לא הסתפקו בלמשוך בכתפיים ולומר "יש כאן פרדוקס"? לכאורה האופציה להשלים עם פרדוקס במתמטיקה לא באמת קיימת. פרדוקס במתמטיקה?! השתגעת?! נחיה ונראה. 

"המשפט הזה הוא שקר", הוא פרדאכסולי כי אין לנו שום דרך להרגיש איתו בנוח. אין שום הנחה או אמונה שלנו על העולם שנוכל לוותר עליה כדי שהמשפט הזה יהיה בעל משמעות. לעומת זאת, למרות הרגשות שנילוו לאמונות אותן ערערו קאנטור ואותו יווני עלום, רגשות שהיו עזים דיים על מנת לגרום לנידויו של אדם ולרציחתו של אחר, הרי שבסופו של דבר האמונות הללו נידחו וכמעט שלא נותר להן זכר (יש עדיין מתמטיקאים שמסרבים להכיר בתוקפן של הוכחות שעודות שימוש באינסוף, אולם כיום מתמטיקאים אלו הם השייכים למחנה המנודה). זו יכולה להיתפס כעדות למדעיותה של המתמטיקה: האמת ניצחה את האמונה. אני סבור שיש כאן עניין נוסף שקשור בכך שהאמונות המתמטיות לא באמת מחוברות לחיים (בניגדו למשפט השקרי הזה). וזה מביא אותי לדוגמא האחרונה, גם היא מפורסמת ומוכרת כמו שתי קודמותיה.

בסוף המאה ה19 נעשתה עבודה רבה על "יסודותיה של המתמטיקה", קרי ניסוח הבסיס עליו נשענת המתמטיקה והגדרת כללי הפעולה שבעזרתם מותר לבנות מבסיס זה תורות מתמטיות. בעצם, המתמטיקאים פנו לעשות למתמטיקה כולה את מה ש-2500 שנה לפניהם, אוקלידס עשה בזעיר אנפין לגיאומטריה (ניסח חמש אכסיומות, הגדיר מספר מושגים בסיסיים והוכיח כמעט את כל משפטי הגיאומטריה). באמצע כל הקדחת הזו, התגלה שאפשר לכתוב בשפה מתמטית את "המשפט הזה הוא שקר". הסבר (על רגל אחת) כאן.
תארו לעצמכם את המהומה שהתעוררה: המתמטיקה, מלכת המדעים, האקסמפלאר של הרציו האנושי, מכילה פרדוקס!!! עד היום קוראים לכך "המשבר במתמטיקה".

את המשבר הזה פתרו בשני שלבים. ויחסית לגודל המשבר, לא לקח כל כך הרבה זמן להגיע לפיתרון. אבל לפני התיאור של הפתרון וניתוחו אני רוצה רק להעיר שהופעת הפרדוקס הזה לא היתה אירוע שכולו רע. סופסוף אחרי כמה אלפי שנים, השפה המתמטית והחשיבה המתמטית נהיו מופשטות דיין על מנת לאפשר התייחסות עצמית (קבוצה ששייכת או אינה שייכת לעצמה). ההתייחסות העצמית הזו (יש הסבורים שיכולת זו מבדילה אותנו מהחיות) היא שהולידה את הפרדוקס. אני בטוח שכל מתמטיקאי יסכים אתי על האמירה האחרונה הזו – ובכל זאת הפרדוכס שהתגלה נחווה כטראומה. אז איך פתרו אותו?

לא הרגו את מי שגילה אותו (ממילא היו יותר ממגלה אחד) וגם לא נידו אותם. פשוט כרגיל שינו את ההנחות. היוונים נאלצו לוותר על ההנחה שיש רק שלמים ושברים, בני זמנו של קאנטור נאלצו לוותר על ההנחה שאינסוף הוא יחיד ולא בר-מדידה. המתמטיקאים של ראשית המאה ה-20 נאלצו לוותר על ההנחה ש"כל קבוצה שאנו יכולים להגדיר אותה באמת קיימת" (בעצם הם עשו זאת לא על ידי ויתור על הנחה אלא על ידי שינוי של השפה המתמטית, אך איני יכול להסביר זאת בדרך פשוטה). כך הקבוצה Z שהגדרנו קודם לא תהיה קיימת והפרדוקס יעלם. נדמה לי שפתרון הקסם האלגנטי הזה מאוד מקומם עבור מי שאינו מורגל בחשיבה מתמטית. "מה?! במחי יד להעלים משהו שעשה לך בעיות?!" ואכן המעשה הזה קצת עומד בניגוד לדרישה לניתנות להפרכה שדורשים ממדע. אם בכל פעם שתתגלה במתמטיקה בעיה ישנו פשוט את ההנחות או את מה שמותר ואסור במתמטיקה אז מדובר בשרלטנות ולא במדע אמיתי. ואכן, אני סבור שלא יותר מ-50 שנה מוקדם יותר (קרי 1850) מעשה כזה לא היה עולה על דעתם של מתמטיקאים. מה שקרה – והוא קשור בניסיון (הנואש?) להעניק יסודות איתנים למתמטיקה – הוא שמתמטיקאים החליטו להפריד בין מה שנכון למה שאמיתי. "נכון" משמעו כל מה שמוכח ממערכת ההנחות שלנו על פי כללי ההיגיון המותרים. "אמיתי" – משמעו מה שקורה בפועל ב"עולם". המתמטיקאי אינו מטריד את עצמו בשאלה האם ההנחות שלו אמיתיות (קרי מתקיימות בעולם) הוא רק רוצה שמה שהוא מוכיח ינבע מהן באופן לוגי. לכן זה מעשה מתמטי לגיטימי להשליך לפח הנחות (שנחשבו למצויינות עד לאותו רגע) שיוצרות סתירה. אני קצת מפשט את התמונה אבל ככה זה בערך. האם מדיניות כזו היא פרקטיקה מדעית? המדיניות הזו היא אידאולוגיה בפני עצמה והיא מעצבת את המתמטיקה (את "האמת") שמתקבלת. בראשית המאה ה-20 היו קיימות שתי אידאולוגיות מתמטיות נוספות. אחת מהן (אינטואיציוניזם) שללה בתוקף את הגישה המתוארת פה. אבל האינטואיציוניסטים הובסו. הם הובסו כי הפורמליזם (כך קוראים לגישה השלטת כיום) הביאה הכי הרבה תוצאות. אז הנה לנו קריטריון לאמת: מערכת טענות שמייצרת עבורנו כמה שיותר ידע שמקובל עלינו (נשמע קצת כמו אסטרולוגיה?). בכל מקרה לפתרון הזה – שנמצא מיד עם גילוי הפרדוקס – היה גם מחיר והוא חולל את אחת הדרמות המסעירות של המתמטיקה במאה ה-20, אך זה סיפור אחר.

מה שכן מענייננו הוא, העובדה שהפתרון לא היה מושלם. המתמטיקאים ויתרו על ההנחה שכל קבוצה שאפשר להגדיר אותה קיימת אך לא היה בכך בכדי להבטיח ש-Z  (הקבוצה הבעייתית שממנה נבע הפרדוקס) עצמה לא קיימת. ובכלל, משהתגלה פרדוקס אחד, מי יבטיח לנו שאין אחרים? הצורך הזה להוכיח שבמתמטיקה אין סתירה, נהיה לאחד הצרכים הבוערים של המתמטיקה ובמשך 30 השנים הראשונות של המאה ה-20 עסקו בו המתמטיקאים הגדולים ביותר של התקופה. לכולם היה ברור שבמתמטיקה אין סתירה (נו באמת, סתירה במתמטיקה?), הם גם ידעו להגיד שמספיק להוכיח שבאריתמטיקה אין סתירה כדי להראות שגם המתמטיקה היא עקבית (=חסרת סתירה). אבל הם לא ידעו איך להוכיח זאת.

הסיבה שהם לא מצאו את ההוכחה היא שהוכחה כזו לא קיימת. בשנת 1931 הוכיח מתמטיקאי אוסטרי בשם קורט גדל את משפטי אי שלמות של האריתמטיקה. הראשון: אי אפשר להוכיח שבמתמטיקה אין סתירה. המשפט השני: יש תופעות מתמטיות נכונות שאינן ניתנות להוכחה. (הניסוח אינו מדוייק, אך נדמה לי שהעיקר עובר).

אף פעם לא קראתי מה היתה התגובה לגילויים אלו (גדל עצמו בניגוד לדמויות מהספיורים הקודמים, זכה מיד להערכה והוקרה על עבודתו זו וכן על עוד כמה עבודות פורצות דרך במתמטיקה) אבל לבטח היתה שם תדהמה גדולה. מה שגדול המתמטיקאים – דיוויד הילברט – הכריז 30 שנה קודם לכן כפרוייקט החשוב ביותר במתמטיקה (ופרוייקט שלבטח יסתיים בהצלחה. הוא אפילו הציע דרך לעשות זאת ותלמידיו שקדו על ביצועה) הוכח כלא אפשרי. והמשפט השני הוא גם מדהים (לפחות עבור מתמטיקאי): יש עובדות נכונות לגבי מספרים שאי אפשר להוכיח אותן! האם אפשר לדמיין תבוסה מחפירה מזו למתמטיקה? לעומת גילויים אלו הסיפורים על קאנטור והפיתגוראים הן זוטות ממש. כיצד תתמודד הקהילה המתמטית עם חילול הקודש הזה?

וכאן מופיע השלב השני של הפתרון (זוכרים? כתבתי שהפתרון הופיע בשני שלבים). הקהילה אימצה אל ליבה את גדל, למדה בשקיקה את התוצאות שלו ותוך מספר שנים ניערה את חוצנה מהעניין כולו. כיום אפשר לסיים תואר ראשון ואף לקבל דוקטורט במתמטיקה בלי לללמוד בכלל את משפטי האי שלמות. הלוגיקה – הענף היפהפה ששאלת העקביות של המתמטיקה שייכת אליו – נחשב כיום לתחום איזוטרי וזניח (רק לפני 80 שנה כל מי שהחשיב את עצמו במתמטיקה התאמץ לתרום לה משהו). אוניברסיטאות יוקרתיות רבות כלל אינן מחזיקות "קבוצת לוגיקה" (באוניברסיטה העברית דרך אגב, יושבים שניים מהלוגיקאים הטובים בעולם). כל זאת למרות שהתחום פעיל, פורה ומניב תוצאות שהן שימושיות מאוד עבור תחומים מתמטיים אחרים. זוכרים איך מספר פסקאות למעלה הצעתי שאת הגילויים של קאנטור והמספרים האירציונליים יפטרו כפרדוקס לא מעניין? זו לא נשמעה אופציה אפשרית. ובכן הנה: השאלה שהוגדרה כ"הכי חשובה", שהיתה קשורה במילה "משבר" זכתה להתעלמות גורפת והפכה לזניחה וצדדית. האם יש צורת הכחשה חריפה מזו? אני לא מתכוון להטיל דופי במתמטיקה או במתמטיקאים אבל אני חושב שהשלתשלות הדברים הזו היא די מדהימה.

זהו, תם הסיפור. כמובן שיש בו עוד פרקים. למשל, אקסיומת המקבילים וגיאומטריות לא אוקלידיות. הייתי גם מספר, כדוגמה יפה וקצרה את גילוי המימד הפרקטלי (מימד שאינו מספר שלם 1,2,3 כי אם שבר!). אבל הבלוג הזה חוזר להיות מוקדש לענינים החשובים באמת (עד לגיחה הבאה).

Read Full Post »

הפרדוקס של ראסל

מתמטיקה יכולה לחקור מספרים אך היא יכולה לחקור גם אוספים של מספרים. לאוספים אלו קוראים קבוצות. השפה המתמטית משוכללת מספיק על מנת לחקור גם אוספים של אוספים. כלומר קבוצות שהאיברים שלהם אינם מספרים כי אם קבוצות אחרות. למשל: אוסף המספרים השלמים הוא קבוצה מגודל אינסופי שכל איבריה מספרים. השפה המתמטית (של סוף המאה ה-19) איפשרה להתייחס לאוסף של כל הקבוצות מגודל אינסופי.

זו קבוצת הקבוצות האינסופיות. נקרא לה A. בקבוצה הזו יש אינסוף איברים (כל אחד מהם הוא בעצמו קבוצה). מה אנו יודעים על A? אנו יודעים שהיא מגודל אינסופי. אנו גם יודעים שהיא מכילה את כל הקבוצות שהן מגודל אינסופי. חברו את שני הדברים הללו יחדיו והסיקו ש-A שייכת ל-A. זו אולי מוזר, וזה יוצר כל מיני סיבוכים פרקטיים וקונספטואליים אבל מבחינה מתמטית זה עדיין לא פרדוקס.

הפרדוקס מופיע כאשר אנו מגדירים את הקבוצה הבאה: Z היא הקבוצה של כל הקבוצות שלא שייכות לעצמן.

לדוגמא: A שייכת לעצמה ולכן אינה שייכת ל-Z. לעומת זאת הקבוצה של כל המספרים השלמים אינה שייכת לעצמה (היא איננה מספר שלם) ולכן היא שייכת ל-Z.

והנה הפרדוקס: מה בדבר Z? האם היא שייכת לעצמה? אם היא שייכת לעצמה אז היא לא יכולה להיות שייכת ל-Z (כי Z היא קבוצת כל אלו שלא שייכות לעצמן). לכן היא לא שייכת לעצמה. אבל אם היא לא שייכת לעצמה אז היא צריכה להיות שייכת ל-Z. אין מוצא! רואים את הדימיון ל"המשפט הזה הוא שקרי?".

Read Full Post »

שורש 2 אינו רציונלי

איך מוכיחים שהשורש של 2 אינו מנה של שני מספרים שלמים?

נסמן ב- x את השורש של 2.
p,q יהיו שני מספרים שלמים. 
נניח ש x=p/q ושאין מספר שלם, גדול מ-1 שמחלק הן את p והן את q (שימו לב, כל מנה של שלמים ניתנת להיכתב על ידי שלמים שאין להם גורם משותף ולכן ההנחה שלנו מותרת).
נסמן את p בריבוע כ p^2 וכנ"ל לגבי q.
אז 2=p^2/q^2
כלומר p^2=2q^2
אגף ימין מתחלק ב-2 ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-2.
לכן p מתחלק ב-2.
זה אומר ש-p^2 מתחלק ב-4
לכן אגף ימין מתחלק ב-4
זה אומר ש-q מתחלק ב-2
אבל הנחנו שאין מספר שמחלק הן את p והן את q.
הגענו לסתירה וזה אומר שההנחה שלנו שיש p,q שלמים מנתם היא x היא שגויה.

פשוט ויפהפה.

Read Full Post »

בשבוע הבא אני מסיים ללמד קורס מכינה באקדמיה להנדסה בירושלים. החומר – 5 יח"ל בגרות – פשוט יחסית. הפשטות שלו מאפשרת כמה תובנות שחורגות אל מעבר למתמטיקה. ברצוני לכתוב על אחת מהן. אשתדל לשמור את המתמטיקה למינימום ולהגיע לתופעות הרחבות יותר, שנראה לי שיכולות לעניין כל אחד.
אחת מטכניקות ההוכחה הבסיסיות במתמטיקה נקראת הוכחה באינדוקציה. היא אמנם מספיק בסיסית בשביל שילמדו אותה בתיכון אבל היא שימושית ורבת עוצמה. לכן היא מופיעה (כמעט) לכל אורכה ורוחבה של המתמטיקה. אינדוקציה תופיע בכל מקום שבו יופיעו מספרים שלמים (המספרים בעזרתם אנו סופרים. ליתר דיוק, השלמים הגדולים מאפס, אך זה לא באמת משנה), ואלו כמובן מופיעים (כמעט) בכל תחום מתמטי. נאמר שאני רוצה להוכיח שטענה כלשהי נכונה לגבי כל המספרים השלמים. הוכחה באינדוקציה מתבססת על העובדה שהרבה יותר קל להוכיח את הטענה לגבי מספר מסויים מאשר לגבי כל המספרים. הקסם שבאינדוקציה הוא שלמרות שמוכיחים את הטענה רק לגבי מספר מסויים, האופן בו עושים זאת מוכיח את שהטענה נכונה לגבי כל המספרים (השלמים).
אינדוקציה היא באמת כלי רב עוצמה והיא שימושית באין ספור בעיות. פעמים רבות היא פותרת בקלות שאלות שאחרת הפתרון שלהן היה קשה בהרבה. אבל, אליה וקוץ בה. הוכחה באינדוקציה נותנת לנו את התשובה שביקשנו בלי לתת שמץ של מושג לגבי המשמעות של התשובה הזו. כלומר, ההוכחה מראה לנו שתופעה מתמטית כלשהי מתקיימת אך לא נותנת לנו שום הבנה לגבי המהות של התופעה או מדוע היא מתקיימת. במקרים בהם קיימות שתי הוכחות לאותה בעיה (וזה קורה הרבה), אחת באינדוקציה ושניה לא, רואים זאת בבירור: ההוכחה באינדוקציה הרבה יותר קלה. והיא אינה מסבירה דבר. ההוכחה השניה, לעומת זאת, שופכת אור על מה שבאמת מתרחש. אולי צריך לתת כאן דוגמה אך לא הצלחתי לחשוב על דוגמה שיהיה קל להסביר ללא מתמטיקאים (לאילו מבינכם בעלי חינוך מתמטי, חישבו על הוכחה באינדוקציה לסכום האיברים של סדרה הנדסית).
משחק הגומלין הזה, בו קלות ההוכחה באה על חשבון יצירת הבנה מעורר מחשבה בעיני. אולי זה נשמע הגיוני: הוכחה באינדוקציה ישימה להרבה מצבים שונים ולכן היא לא יכולה לשפוך אור משמעותי על מה שמתרחש באף מצב מסוים. אם היא היתה חושפת משהו מהותי על מצב כלשהו אז היא לא היתה מופשטת מספיק בשביל להיות שימושית למצבים אחרים. בכל זאת, משהו בי היה רוצה להפר את חוק הטבע הזה ולמצוא כלי שהוא גם מופשט דיו בשביל להתאים להרבה מצבים שונים וגם קונקרטי מספיק בשביל להסביר משהו עליהם.
מה יותר חשוב לנו? לדעת את התשובה (ואז להשתמש בה, להצליח, לעשות כסף, לחוש ביטחון, להרגיש טוב…) או להבין מה קורה (שזה בעצם להיות באינטימיות, לחוש את החיים)? לזכותם של המתמטיקאים, יש לומר שהם ערים מאוד למידת האור שהוכחה כלשהי שופכת על הבעיה שנפתרה. מתמטיקה אינה עוסקת רק בפיתרון בעיות (צבירת ידע) אלא גם בפיתוח ההבנה. בעצם, ההפרדה הזו בין ידע להבנה לא באמת יכולה להתקיים במתמטיקה: הבנה מבטאת את עצמה דרך יצירת ידע. ידע בלי הבנה הוא די עקר ומוגבל לתחום של מה שמוכר בלי יכולת לפרוץ אל מחוזות חדשים.

את הסוגיה הזו, של הצלחה לעומת הבנה, אפשר כמובן לפגוש בכל דבר שאנו עושים. למשל, כשאני רואה, כיצד שימוש בבריחים ונעילות מפרקים באומניות לחימה מסויימות מאפשר שליטה גדולה ביריב, אני לא יכול שלא לחוש שהדבר הזה בא על חשבון הקשבה, תנועתיות וזרימה שדרכן יכול לצמוח חיבור אמיתי. דווקא השליטה הרבה שבבריח, מאפשרת לוותר על ההקשבה והתנועתיות: האיום מנוטרל גם בלעדיהן. דוגמא אחרת: באחד היומנים המתארחים ב"רשימות", ניתנו עצות כיצד להתמודד עם הפיתוי שבאינטרנט. העצות – שהן אולי יעילות – נועדו לחסוך מאנשים העובדים ליד מחשב את בזבוז הזמן שבגלישת יתר לאתרים החביבים עליהם. מה שבלט לי בעצות הללו הוא שלא ניתנה שום התייחסות להתמכרות הזו, למצב הרגשי-נפשי בו אנו נשאבים אל משהו שולי על חשבון מה שלכאורה חשוב לנו. או למצער, לשאלת המשמעת וכח הרצון. נותנים לנו כמה טריקים כדי לעקוף את ההתמכרות הזו וזהו. אם הטריקים ישיגו את מטרתם אולי אפילו נחשוב שאנחנו יצורים עצמאיים, אדונים לעצמנו ולזמננו. אבל מה אנחנו באמת יודעים על מה שמניע אותנו? עד כמה אנחנו במגע עם היכולות והמגבלות שלנו? עם עצמנו?
כותבת אחרת שאני מאוד נהנה לקרוא ברשימות היא דינה ראלט. דינה כותבת על הגוף מנקודת מבט ביולוגית-רפואית כשהדגש שלה הוא על מנגנונים של השמנה והרזיה. אחד מה"כוכבים" של דינה הוא הגז ניטריק אוקסיד (NO-חנקן חמצני): "תקשורת NO יכולה לקדם בריאות, יצירתיות, קשר אישי ועוד". באחד המאמרים  שלה היא העלתה את האפשרות שזרימת הצ'י בגוף נעשית באמצעות מולקולות של NO. מכיון שדינה עוסקת בבריאות, היא מעלה ברשומות שלה כל מיני רעיונות להתמודד עם תפקוד לא נאות של הגוף שלנו. במאמר אחר  היא הגדילה לעשות והציעה לפתח חולצות שיפרישו NO אל הגוף של מי שלובש אותן. כך יהיה אפשר "לקנות חולצות להפסקת עישון!!! שלא לדבר כמובן על חולצות להגברת האון המיני". אני כתבתי לה שאני מוצא טעם לפגם ב"לפתור" בעיות על ידי מעקפים בלי לרדת לשורש ממנו נובעת הבעיה. דינה ממש לא הבינה את ההסתייגות שלי: "האם היית אומר שזה בעייתי גם למשתמשי הויאגרה שלא רק שיפרו את חיי הזוגיות שלהם אלא גם החלימו ממחלות שונות? הויאגרה מאריכה את שהות הניטריק אוקסיד המרחיב את כלי הדם… כדי לצאת מהדילמה הפילוסופית הייתי אומרת שאכן "חיבלנו" (לא כולם) ביכולת שלנו לתת לניטריק אוקסיד לזרום ליעדו, להחזיר לו את היכולת הזאת לא נראה לי כ"כ נורא…".
אני חושב שיש צדק בדברים של דינה. אני לא מתיימר להיות חופשי מהרצון "להשיג תוצאות". אם ה"תוצאה" הינה כזו של הפסקת סבל רציני, אני עשוי ללכת עליה ולעזאזל עם "הבנות-שמבנות". אבל אני לא רוצה לשכוח ש"תוצאות" אינן חזות הכל. הבנה היא בעלת משמעות הן במישור הערכי והן במישור המעשי. תחום הבריאות הוא בודאי כזה בו אנשים נוטים ללכת על פתרונות קלים במקום חקירה עצמית. כאבי ראש, קשיי שינה ובעיות עיכול הם דוגמאות לבעיות שהרבה פעמים מעידות על משהו שאנו עושים לא נכון. לקחת כדור ש"יסדר" אותנו זה לפספס את ההזדמנות לבדיקה עצמית. ולא רק לקיחת כדור: גם לבוא לטיפולי שיאצו ש"יפתרו" לנו את הבעיות בלי שנצטרך לגלות או לשנות דבר מאורחות חיינו זה לוותר על האחריות שלנו (אחריות שהיא גם זכות) לדעת את עצמנו. זו אחת הסיבות שאני לא אוהב ללכת לרופאים (קונבנציונאליים או לא). מנגד, בתור מטפל שיאצו אני מרגיש שעלי להשאיר חלק מהאחריות אצל המטופל. זה בכלל לא פשוט.
כפי שציינתי למעלה, מתמטיקאים אמיתיים (בניגוד לסטודנטים במכינה או באוניברסיטה) אינם מסתפקים בכך שהצליחו להוכיח משהו. הם רוצים גם להבין את המשמעות של הדבר, לחוש את החיים שלו. זה מאפיין כל אמן לגבי תחום האמנות שלו – הרצון והיכולת להיות באינטימיות עם החומר בו הוא עוסק.
לכולנו יש את האפשרות להיות באינטימיות עם עצמנו ועם החיים. אם יש משהו שאני מאחל לעצמי לשנה החדשה, זה לפתח את היכולת שלי להיות אמן של החיים שלי.
שנה טובה.

Read Full Post »

לפתור חידה

בימים בהם האמנות שלי היתה המתמטיקה, שימש אותי העיסוק המתמטי גם לבחון כיצד המחשבה שלי פועלת: מה גורם לה להבין ומה גורם לה להחמיץ תובנות שהן מתחת לחוטמה. הימים הללו חלפו אבל נחמד להיזכר. היום נתקלתי בחידה הזו של הנרי ארנסט דודני (18557-1930): צייר קוים בין זוגות a,A) (b,B) (c,C) (d,D)  כך שלא יחרגו מחוץ למלבן ולא יחתכו זה את זה.  זו חידה נחמדה, נסו לפתור אותה. החידה לא מאוד קשה. אני מביא אותה בעיקר משום שהיא מאפשרת לי לדבר על כיצד אנו נתקעים באי-ידיעה וכיצד אנו יוצאים ממנה (זה יופיע בהמשך). לכן, אני מציע שלא תמהרו מידי להגיע לפיתרון. נסו לשים לב באילו אסטרטגיות אתם נוקטים ומדוע.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

והנה רמז שהוא בעצם לא רמז: המפתח נעוץ באותיות a,b. בקלות אפשר לחבר את b לבת זוגתה כך שהקו עובר מימין ל-a. אלא שאז c,d יהיו מנותקות מבנות זוגן. אם לעומת זאת נחבר את b ל-B כך שהקו עובר משמאל ל-a אזי a לא תוכל להתחבר ל-A.  לכאורה אין לנו ברירה – הקו מ-b צריך לעבור או מימין ל-a או משמאלה. אבל יש גם אפשרות אחרת. כדי לראות מה היא (אבל אז כבר לא ישאר כלום מהחידה) לחצו כאן.

Read Full Post »

לחזרה לעמוד הראשון.

 

ובכן, מה דעתכם על

 

 

 

 

 

 

 

 

ההמשך פשוט לא?

הפתרון המלא וגם מחשבותיי על דרך הפתרון, כאן

 

Read Full Post »

לחזרה לעמוד הראשון והשני.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

חידה נחמדה, אולי לא קשה מידי. מה אפשר ללמוד ממנה? יש יותר מדרך אחת למצוא את הפיתרון ומה שכתוב בהמשך קשור בדרך הפיתרון שלי. אם תרצו להוסיף מהזוית שלכם אנא עשו זאת.

נחזור למה שכתבתי בעמוד הראשון: "כל" קו שנעביר בין b ל-B יצור לנו בעיה (במקרה אחד עבור a ובמקרה השני עבור c). כלומר, במבט ראשון אין דרך לפתור את הבעיה הזו! כמה פעמים אנו מרימים ידים או מתפשרים משום שאנו מאמינים שאין לנו ברירה? והנה כאן, מכיוון שמישהו אמר לנו שיש פתרון, אנו מסוגלים להתמיד ולחפש אותו למרות ש"ברור" שאין כזה). בלימודי התואר הראשון  יכולתי לשבת שעות בניסיון לפתור בעיה אחת. לו היה לנו ביטחון כזה גם בסיטואציות המורכבות של החיים. הרי לפעמים אנו מאמינים ש"אין לנו ברירה אלא…" כאשר בפועל, בעזרת יצירתיות והתמדה בהחלט יש ברירה. כיצד נוכל לייצר לעצמנו גם בחיים את הביטחון שאפשר?

 עוד דבר שמקל על פתרון של חידות מסוג זה, הוא שמספר הכיוונים הפוטנציאלים לפתרון הוא קטן יחסית.  למשל, בחיים האמיתיים מותר למסלולים לעבור במרחב (ולא רק במישור דו מימדי) או יש צורך לחבר בין הרבה יותר נקודות. דווקא המגבלות של החידה מקלות עלינו למצוא פתרון: מי שמזהה שהבעיה נעוצה ב-b  (ולא מסיק מכך שאין פתרון) יכול להתמקד בנקודה זו עד שימצא פריצת דרך. אין טעם לנסות לצייר קוים מ-a,c,d כי גם אם נצליח לחבר אותן ליעדן, נשאר תקועים עם b. במקום להתעלם מהבעיה אנחנו מתמקדים בה! הבעיה היא המפתח לפיתרון. בעצם, הזיהוי ש-b עושה לנו בעיה אינו צריך לרפות את ידינו כי הוא התקדמות. הבעיה הצטמצמה ממצב של "לחבר 4 נקודות ל-4 נקודות אחרות", למצב של "מה לעזעזל אני עושה עם b. זה אולי בניגוד לנטיה הטבעית שלנו אבל ההצטמצמות הזו מעידה על התקדמות וגם מסיעת לנו להגיע לפתרון.

מה קורה כשמבינים איך לחבר את b ל-B? זה בעצם קורה בשני שלבים. השלב הראשון הוא לזהות שאפשר להעביר את הקו מ-b כך שיקיף את c משמאל. כשעשיתי זאת רציתי להמשיך "בדרך הקצרה" ל-B אבל אז ראיתי ששוב תהיה לי בעיה עם a. השלב השני הוא להבין שעכשיו עלי להקיף את a מימין ורק אז להמשיך ל-B. יש הבדל מהותי בין שני השלבים הללו. השלב השני מגיע כהרף עין עם זיהוי הבעיה. בעצם, הוא חזרה (חיקוי) על התובנה שאיפשרה את השלב הראשון. השלב הראשון הוא הקריטי וגם לוקח יותר זמן עד שהוא קורה (אם בכלל). בעוד שהשלב השני מתאפשר בעזרת "חיקוי" (של מה שכבר הבנתי), זה קצת פלא איך קורה השלב הראשון: אני יושב מול הציור של הנקודות, מתמקד ב-b. אין לי שום כיוון כי כל הכיוונים שחשבתי עליהם לא עוזרים. ואז לפתע מגיע הכיוון החדש – להקיף את c משמאל. איך הוא מגיע? זה לא פלא? אני די בטוח שההצעה להקיף את c משמאל מגיעה בלי להבין שכך אוכל להגיע ל-B באופן "תקין". עובדה – אחרי שהקפתי את c רציתי לעלות מהר ל-B וזה כאמור לא מאפשר פיתרון. כלומר ה"פלא" שהתרחש אינו בדיוק מציאת התשובה אלא זיהוי של אופן פעולה נוסף שלא חשבתי עליו. זה מעלה שתי נקודות מעניינות:

ראשית, מה גרם לי להיתקע על שני אופני הפעולה הראשונים ולא לראות שיש עוד דרך? הכל גלוי לפני, אף אחד לא עשה עלי מניפולציה ובכל זאת יש משהו שאיני מעלה על דעתי. התיאור הזה "משהו שאיני מעלה על דעתי" הוא לא מדוייק בעיניי. יותר משאיני מעלה אותו על דעתי, אני קצת משוכנע ששתי האפשרויות שכן חשבתי עליהן הן היחידות האפשריות. כלומר אני נאחז במשהו – שברור שאין בו תועלת – ומתוך ההיאחזות הזו לא רואה מה עוד ייתכן. אני מצמצם את עצמי לשתי אפשרויות בלבד. קודם כתבתי שהצטמצמות היא המפתח לפיתרון. אולי זו אחת הסיבות לנטיה שלנו להצטמצם. כאו יש לנו דוגמא איך ההצטמצמות הזו מרחיקה מהפתרון. כתבתי "קצת משוכנע". סביר שאם הייתי מאוד משוכנע, כלל לא הייתי מגיע לפריצת הדרך של השלב הראשון.

הדבר השני שמעניין לגבי זיהוי האפשרות של "השלב הראשון" הוא שלא לגמרי ברור מה אני מזהה פה. בהתחלה רציתי להעביר קו מ-b ל-B שיעבור בין a ל-c וראיתי שזה לא אפשרי. אבל ממש לא כיניתי את הקו הזה "עובר בין a ל-c" אלא "עובר משמאל ל-a". גם האפשרות החדשה הולכת שמאלה מ-a. ובכל זאת, משהו בי מזהה שהיא מציעה לי כיוון חדש. עוד לפני שהצלחתי להגיע בעזרתה ל-B אני חש את תחושת הרווחה שבפתרון. איך זה קורה?

ולסיום – "תחושת הרווחה שבפתרון". אכן תחושה נפלאה.

את החידה הזו מצאתי תוך הכנת חומר לקורס מתמטיקה לנוער שוחר מדע באוניברסיטה העברית. משבוע הבא אני הולך להגיע כל יום ב-8:00 בבוקר לעבודה וללמד עד 13:00. איכשהו, הצלחתי להעביר את החיים שלי עד היום בלי שתהיה לי מחוייבות מהסוג הזה. אני די לחוץ. החלטתי להפוך את השבועים הקרובים למעין "סדנה בעיר". בבוקר ללמד, בצהרים להתאושש ואת אחר הצהרים להקדיש למדיטציה ואימוני קיטאידו. אנשי הקיטאידו והויפאסאנה מוזמנים להצטרף.

Read Full Post »